Para el cálculo de áreas de regiones planas consideraremos en primer lugar el caso en que la región está determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox, y después el caso en que la región la determinan los gráficos de dos funciones en [a,b], distinguiendo entre si estas funciones se cortan o no.
Área de una región determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox
La función toma valores positivos en todo [a,b].Sea una función f (x) definida en el intervalo [a,b]. Si la función es no negativa en [a,b], es decir, si f (x) ≥ 0 para todo x∈[a,b] , entonces el valor de la integral definida de f (x) entre a y b.Sea a∫ f x dx , es igual al área delimitada por la gráfica de la función f (x) con el eje Ox entre las líneas verticales determinadas por x = a y x = b , tal como se muestra en la figura. Observamos que cuando f (x) es no negativa, su gráfica se sitúa por encima del eje Ox , en la parte positiva del eje de ordenadas.
La función toma valores negativos en todo [a,b]
Si la función f (x) es negativa (su gráfica se sitúa en la parte del plano que corresponde al eje de ordenadas negativo) entonces el valor de la integral a∫ f x dx es negativo e igual en valor absoluto al del área delimitada por la gráfica de la integral con el eje Ox entre les líneas x = a y x = b . Con lo cual el área de la zona delimitada por la función con el eje Ox es a−∫ f x dx Caso generalEn general, si el área que se quiere calcular la delimita, con el eje Ox y x = a y x = b ,la gráfica de una función f (x) cuyo signo a lo largo del intervalo [a, b] pasa de positivo a negativo, o al contrario, habrá que tenerlo en cuenta y hacer el cálculo del área total sumando las áreas parciales calculadas en los intervalos de signo constante.
Área determinada por los gráficos de dos funciones en [a,b].
Las gráficas de las funciones no se cortan en [a, b].Dadas dos funciones f (x) y g(x) , para calcular el área determinada por sus gráficas entre las líneas verticales x = a y x = b bastará calcular las áreas determinadas por cada gráfica con el eje Ox, entre x = a y x = b , y después restar o sumar dichasáreas según sea la situación.Consideremos en primer lugar el caso en que una de las funciones es mayor o igual que la otra en todo el intervalo considerado. Es el caso en que la gráfica de una de las funciones se sitúa por encima de la gráfica de la otra. Supongamos, por ejemplo que f (x) ≥ g(x) en todo [a, b] . Entonces el área buscada es la integral de la diferencia entre las funciones f (x) y g(x) , o sea ∫ f x dx − ∫ g x dx =∫ f x − g x dx
A continuación se explicaran los 2 tipos de áreas a estudiar en esta unidad:
Área bajo la gráfica de una función:
Así como también; Área entre las gráficas de funciones:
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