Calculo Integral: mayo 2011

martes, 31 de mayo de 2011

4.1 Definición de serie

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión.

Se representa una serie con términos an como
Siendo N es el índice final de la serie.

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Las series convergen o divergen.

Una serie diverge si

No existe o si tiende a infinito;
Converge si:

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si   no existe o si tiende a infinito; puede converger si   para algún .
Serie finita
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de   y   se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.
Serie infinita
Primer ejemplo. Para alguna , sea   y . Entonces

por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente, y , se ha demostrado que . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo .

Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo . Entonces C(x,x)(n) = n + 1 para todo por lo tanto el producto de Cauchy y no es convergente.

4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (criterio de D´Alembert) y PRUEBA DE LA RAÍZ (criterio de Cauchy).

Imaginemos que se va a celebrar una carrera con las siguientes reglas:

1. El primer minuto debe recorrerse 100 metros.

2. El minuto siguiente debe recorrerse la mitad, 50 metros.

3. El minuto siguiente debe recorrerse la mitad del anterior, 25 metros.

4. El minuto siguiente dee recorrerse la mitad del anterior, 12,50 metros.
y as´ı sucesivamente.

Por otra parte, al mismo tiempo empieza otra carrera, con las reglas ligeramente
modificadas:

1. El primer minuto se recorren 100 metros.

2. El minuto siguiente se recorren la mitad de 100 metros, 50 metros.

3. El minuto siguiente se recorren la tercera parte de 100 metros, 33,3
metros.

4. El minuto siguiente se recorren la cuarta parte de 100 metros, 25 metros.
y as´ı sucesivamente.

Dos corredores empiezan a la vez las carreras. Si la meta de la primera se
encuentra situada a 300 metros y la de la segunda a 1000 metros, ¿qui´en
llega primero a la meta y cu´anto tiempo tarda?
Llamamos D = 100 metros la distancia recorrida en el primer minuto. La
primera carrera va recorriendo las distancias:

D +D/2+D/4+D/8+ . . .

La segunda carrera va recorriendo las distancias:

D +D/2+D/3+D/4+ . . .

La pregunta es cu´al de estas sumas alcanza la distancia a la que est´a situada
la meta respectiva. Al acabar este tema deberemos ser capaces de dar una
respuesta razonada1.

Series de Convergencia
Son aplicables en caso de disponer de otra serie $\sum(b_n)$ tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, |z| > 1. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si $0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0$

Si $\sum(b_n)$ converge $\Rightarrow \sum(a_n)$ converge
Si $\sum(a_n)$ diverge $\Rightarrow \sum(b_n)$ diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

$\lim_{k \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{k}}{b_k} \right )=L$

Entonces:

Si $L = 0$ y $\sum(b_k)$ converge $\Rightarrow \sum(a_k)$ converge
Si $L=\infty$ y $\sum(b_k)$ diverge $\Rightarrow \sum(a_k)$ diverge
En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

CONVERGENCIA

Una serie alternada

a n

converge absolutamente si

$\sum_{n=1}^\infty \left| {a_n}\right|$

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.

Criterio de D'Alembert

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

( serie de términos positivos).

Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L$

con $L \, \in \, [0, +\infty)$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si $L < 1$ , la serie converge.
si $L > 1$ , entonces la serie diverge.
si $L = 1$ , no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe

Criterio de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entonces $\textstyle \sum{a_n}$ converge si y sólo si $\textstyle \int_1^\infty f(x)\,dx$ es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

$\sum_{n=N}^\infty f(n)$

converge si y sólo si la integral

$\int_N^\infty f(x)\,dx$

converge

Sea $\sum{a_n}$ una serie monótona de números positivos decrecientes. $\sum_{n=1}^\infty {a_n}$ converge si y sólo si la serie

$\sum_{n=1}^\infty {2^na_{2^n}}$ converge

BIBLIOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matemática#Criterio_de_D.27Alembert_o_Criterio_del_Cociente_.28Criterio_de_la_raz.C3.B3n.29

MC. Marcel Ruiz Martínez

jueves, 26 de mayo de 2011

4.3 Serie De Potencias

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de “x”:

Cuyo dominio es el conjunto de los x 2 R para los que la serie es convergente y el valor de f(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.

Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aun, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias. Desde un punto de vista más practico, las series de potencias aproximan a su función suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es más que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia. En la siguiente figura (Figura 1.0), puede verse la función f(x) = ex junto con algunas aproximaciones mediante sumas parciales de su serie de potencias.

Figura 1.0: Aproximacion a ex por su serie de potencias

La siguiente imagen muestra el teorema de la serie de potencias, ejemplificando lo descrito anteriormente.

Fuentes: http://www.google.com.mx/url?sa=t&source=web&cd=15&ved=0CC8QFjAEOAo&url=http%3A%2F%2Fe-ujier.uji.es%2Fpls%2Fwww%2F!gri_www.euji22142%3Fp_id%3D210&rct=j&q=serie%20de%20potencias&ei=sL_dTfzIDMbAtge8lYWXCg&usg=AFQjCNEGURIGr_wG0dYBt2NCYUexlTSsmQ&sig2=wBi9aWL_NZucKsDv_MspnQ

http://moodle.unican.es/htmlocw/fund_matematicos/Bloque3HTML/page_08.htm

4.4 Radio De Convergencia

Si nos limitamos al conjunto de los numeros reales, una serie de la forma

recibe el nombre de serie de potencias centrada en x₀. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x₀ | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x₀ − r, x₀ + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x₀, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r =

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x₀ = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

Su radio de convergencia es

r

= 1

. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al

x

0

= 0

es menor que

r

= 1

, por ejemplo el

x

= 0.25

, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

miércoles, 25 de mayo de 2011

4.5 Serie de Taylor

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función, se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

También representada como:

Donde: n! es el factorial de n.

F⁽ⁿ⁾ es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) ⁿ por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

Video explicando la serie de Taylor

Fuente: http://es.scribd.com/doc/5573224/serie-taylor

Video: http://www.youtube.com/watch?v=MsjRJs3mkxs

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.

Teorema de Taylor. Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.

Funcion e

Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.

Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de como se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie

Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se irá llenando la serie mientras más elementos se le agreguen para que el resultado sea más preciso. Todo esto fue para ver como es la serie de la función e, ahora para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya está

Función Coseno

Para el coseno el procedimiento es el mismo.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.

Despues se va llenando la serie de Taylor para despues hacer una ecuacion general:

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos

Fuente: http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm

jueves, 19 de mayo de 2011

4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f ⁽ⁿ⁾(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1,3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo)."//Ver imagen de arriba//"

FUENTE DE INFORMACIÓN; http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor.