Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de “x”:
Cuyo dominio es el conjunto de los x 2 R para los que la serie es convergente y el valor de f(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.
Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aun, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias. Desde un punto de vista más practico, las series de potencias aproximan a su función suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es más que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia. En la siguiente figura (Figura 1.0), puede verse la función f(x) = ex junto con algunas aproximaciones mediante sumas parciales de su serie de potencias.
Figura 1.0: Aproximacion a ex por su serie de potencias
La siguiente imagen muestra el teorema de la serie de potencias, ejemplificando lo descrito anteriormente.
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