Calculo Integral: 2011

lunes, 20 de junio de 2011

3 Aplicaciones de la integral

En esta unidad se estudiaran las aplicaciones de la integral.

El subtema 3.1 abordara las áreas generadas en la integración de funciones y se abordaran:el área bajo la gráfica de una función, asi como el área entre las gráficas de funciones.

El subtema 3.2 fundamentara la longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva y que es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.

En el subtema 3.3 se vera el calculo de volúmenes de sólidos de revolución, ejemplificando el metodo del disco, el Método de la arandela y el Método de los casquillos cilíndricos

En el subtema 3.4 veremos lo referente al calculo de funciones.

Para finalizar el subtema 3.5 tratara de reforzar el tema general con otras aplicaciones de la integral, como lo es la longitud de una curva, la integracion numerica, etc..

Fuentes de imagenes:
http://analisisfigempa.wikispaces.com/file/view/Dibujo86.JPG/193459908/Dibujo86.JPG
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesintegral/html/images/imagen19ab.gif
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7Vk0NVBK2FapCKibjsqMTCflu0BSDN81tli7ehiV8WO7WW_cFdUR6J-Q-pIxrmBG91LiDThIpBdgSi024xTDfKpjzEVCQtqd7gDY4MUD6slIiBFAsFou7sZkdKq93ktyU0wLqm5Ccld0/s320/funciones.png
http://www.todomonografias.com/images/2007/02/100590.gif

3.1 Areas

Para el cálculo de áreas de regiones planas consideraremos en primer lugar el caso en que la región está determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox, y después el caso en que la región la determinan los gráficos de dos funciones en [a,b], distinguiendo entre si estas funciones se cortan o no.

Área de una región determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox

La función toma valores positivos en todo [a,b].Sea una función f (x) definida en el intervalo [a,b]. Si la función es no negativa en [a,b], es decir, si f (x) ≥ 0 para todo x∈[a,b] , entonces el valor de la integral definida de f (x) entre a y b.

Sea a∫ f x dx , es igual al área delimitada por la gráfica de la función f (x) con el eje Ox entre las líneas verticales determinadas por x = a y x = b , tal como se muestra en la figura. Observamos que cuando f (x) es no negativa, su gráfica se sitúa por encima del eje Ox , en la parte positiva del eje de ordenadas.

La función toma valores negativos en todo [a,b]

Si la función f (x) es negativa (su gráfica se sitúa en la parte del plano que corresponde al eje de ordenadas negativo) entonces el valor de la integral a∫ f x dx es negativo e igual en valor absoluto al del área delimitada por la gráfica de la integral con el eje Ox entre les líneas x = a y x = b . Con lo cual el área de la zona delimitada por la función con el eje Ox es a−∫ f x dx Caso generalEn general, si el área que se quiere calcular la delimita, con el eje Ox y x = a y x = b ,

la gráfica de una función f (x) cuyo signo a lo largo del intervalo [a, b] pasa de positivo a negativo, o al contrario, habrá que tenerlo en cuenta y hacer el cálculo del área total sumando las áreas parciales calculadas en los intervalos de signo constante.

Área determinada por los gráficos de dos funciones en [a,b].

Las gráficas de las funciones no se cortan en [a, b].Dadas dos funciones f (x) y g(x) , para calcular el área determinada por sus gráficas entre las líneas verticales x = a y x = b bastará calcular las áreas determinadas por cada gráfica con el eje Ox, entre x = a y x = b , y después restar o sumar dichasáreas según sea la situación.Consideremos en primer lugar el caso en que una de las funciones es mayor o igual que la otra en todo el intervalo considerado. Es el caso en que la gráfica de una de las funciones se sitúa por encima de la gráfica de la otra. Supongamos, por ejemplo que f (x) ≥ g(x) en todo [a, b] . Entonces el área buscada es la integral de la diferencia entre las funciones

f (x) y g(x) , o sea ∫ f x dx − ∫ g x dx =∫ f x − g x dx

A continuación se explicaran los 2 tipos de áreas a estudiar en esta unidad:

Área bajo la gráfica de una función:

Así como también; Área entre las gráficas de funciones:

Fuentes: http://neetescuela.com/integral-de-una-funcion/area-bajo-la-curva/

http://www.vitutor.net/1/images/d256.gif

domingo, 19 de junio de 2011

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función

En matemática, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x.

La integral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f.

Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica.

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b, la grafica de la funcion 'f' y el eje 'x'? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral

entre a y b de f y la denotamos por:

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral definida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Asi cuando n=2:

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo n=4

Entonces sii llamamos Sn a la suma de los rectangulos, se tiene que:

Fuentes:http://www.educared.org/wikiEducared/%C3%81rea_bajo_la_grafica_de_una_funci%C3%B3n_continua.html
http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/AreaBajoLaGr%E1ficaDeUnaFunci%F3n

miércoles, 8 de junio de 2011

3.1.2 Area Entre las Graficas de Funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:

f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .

Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.

Ejemplo de Aplicación 1:

La siguiente grafica representa el area entre funciones explicada anteriormente:

Ejemplo De Aplicacion 2:

La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente:

Fuentes:

http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/AreaEntreLasGr%E1ficasDeFunciones

http://www.vadenumeros.es/segundo/area-grafica-de-dos-funciones.htm

3.2 Longitud De Curvas

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Formula General

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia ﬁnita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.

Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.

(VER IMAGEN 1.0)

Imagen 1.0

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave. (VER IMAGEN 2.0)

Imagen 2.0

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)²=(dx)²+(dy)².
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

Video explicando 1 ejemplo de longitud del arco de una curva:

Ejemplos de la longitud de una curva

Fuente:http://www.mitecnologico.com/Main/LongitudDeCurvas

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco

http://www.youtube.com/watch?v=QLFhBPOtF4s
Fuente Bibliografica: Calculo integral para ciencias basicas
Ing. Rene Benitez Edit. Trillas

jueves, 2 de junio de 2011

3.3 Calculo de volumenes de solidos de revolucion

Metodo del disco:
Si giramos una region del plano alrededor de un eje obtenemos un solido de revolucio. El volumen de este disco de radio R y de anchura w es:

Volumenes del disco= R2 w

Para ver como usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un solido de revolucion general,se hacen n particiones en la grfica

Metodo de la arandela:

Este metodo consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar una region R que se encuentra entre 2 curvas como se muestra:

Si la region que giramos para formar un solido no toca o cruza el eje de rotacion,el solido generado tendraun hueco o agujero.Las secciones transversales que tambien son perpendiculares al eje de rotacion son arandelas en lugar de discos.

Metodo de los casquillos cilindricos:

Este metodo es tambien llamado metodo de capas. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.

Fuente:
http://s3.amazonaws.com/lcp/analisis-matematico/myfiles/SOLIDOSDEREVOLUCION.pdf

3.4 Calculo de centroides

Calculo de la Centroides por medio de la integración.

1. Preparar un esquema del cuerpo a escala.

2. Establecer un sistema de coordenadas, en la mayoría de los cuerpos que sean superficies planas, se utilizan coordenadas rectangulares, siempre que el cuerpo presente un eje o un plano de simetría se tomara uno de los ejes, el centroide se encontrara siempre sobre tal eje.

3. Seleccionar un elemento de volumen , superficie o longitud.. para la determinación del centro de masa o centro de gravedad determinar la masa o el peso del elemento utilizando la expresión adecuada de la densidad o del peso especifico.

4. Escribir una expresión del primer momento del elemento respecto a uno de los ejes o planos de referencia. Integrar la expresión para determinar el primer momento.

5. Utilizar la ecuación adecuada para obtener las coordenadas del centroide.

6. Repetir los pasos del 3 al 5 con las coordenadas obtenidas.

Otras integrales

A pesar de que las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más importantes de integral, hay unas cuantas más, por ejemplo:

* La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann.

* La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.

* La integral de Daniell, que incluye la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin tener que depender de ninguna medida.

* La integral de Henstock-Kurzweil, definida de forma variada por Arnaud Denjoy, Oskar Perron, y Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.

* La integral de Darboux, que es equivalente a la integral de Riemann.

* La integral de Haar, que es la integral de Lebesgue con la medida de Haar.

* La integral de McShane.

* La integral de Buchner

Otras aplicaciones para las integrales.

* Área entre curvas.

* Sólidos de revolución.

* Longitud de curvas.

Aqui una pequeña definicion y un ejemplo de como calcular un centroide:

Fuente:
http://www.buenastareas.com/ensayos/Calculo-De-Las-Centroides/629887.html

miércoles, 1 de junio de 2011

Evaluacion 3.5

Por medio de la presente informo la calificacion 96%

Atentamente

Ing. Enrique Márquez

3.5 otras aplicaciones

Aplicaciones de la Integral

Dentro de los problemas típicos que se pueden expresar de manera directa mediante integrales y complementarios al problema básico de “área bajo la curva” se tienen:

· Área entre curvas.

· Sólidos de revolución.

· Longitud de curvas.

· Centroides de figuras planas.

· Momentos de Inercia de cuerpos planos.

El objetivo de la presente sección es estudiar cada una de esas diferentes aplicaciones y se comenzará con la aplicación más común y que a su vez motivó los conceptos básicos de la integral: el área bajo la curva.

Área entre la curva y el eje x

En efecto, ya lo hemos señalado, integral no es lo mismo que área, ya que el concepto de integral es realmente un concepto mucho más amplio y que se puede aplicar a infinidad de situaciones novedosas. Por otro lado, realizando las correcciones necesarias respecto de los valores negativos que pueda tomar una función en un intervalo la integral calcula perfectamente el área entre el eje x y una curva dada.

Pero el concepto de área se puede ampliar a espacios delimitados entre diversas curvas en el plano, estudiemos ahora esa generalización.

Área entre curvas

La integral representa la acumulación de las pequeñas variaciones en una situación dada, por ello podemos responder a la pregunta: Si se tiene una curva ¿Cuánto mide? ¿Cómo la mido? ¿Qué son las pequeñas variaciones en ese caso?

Longitud de una curva

La integral como concepto nace alrededor del cálculo numérico, por lo que muchas de las integrales que se nos presentan en la vida cotidiana ni tan siquiera son planteadas analíticamente; sin embargo, eso no las hace inútiles; ¡por el contrario! El potencial analítico de la integral se logra ante la simplicidad del concepto ¡no deja de ser una suma!!!!!

Pero ahora con las computadoras, esas sumas las podemos hacer de manera muy eficiente.

Integración numérica

Es verdad que la motivación del la integración lo fue el concepto geométrico de área, pero ya hemos concluido que en realidad la podemos emplear en cualquier situación que se pueda representar por el producto de dos cantidades y el volumen es uno de esos casos, veamos los siguientes cuerpos geométricos y como la integral nos auxilia a calcular volúmenes.

Superficies y sólidos de Revolución

En los cuerpos físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría, dentro de esos fenómenos se presenta la ocurrencia de la masa, el peso y por tanto los efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conceptos físicos necesarios para el estudio de cantidades físicas como las mencionadas.

Momentos de Inercia

Las aplicaciones de la integral son muy amplias y en este apartado se han presentado algunas de las más comunes, y con este estudio se amplia el panorama para que en nuestra visión de la naturaleza, en los actos que nos rodean todos los días, observemos como la acumulación es un hecho cotidiano.

http://www.itpuebla.edu.mx/alumnos/cursos_tutoriales/carlos_garcia_franchini/calculo/Focalizacion/FocalizaCI5.htm

martes, 31 de mayo de 2011

4.1 Definición de serie

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión.

Se representa una serie con términos an como
Siendo N es el índice final de la serie.

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Las series convergen o divergen.

Una serie diverge si

No existe o si tiende a infinito;
Converge si:

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si   no existe o si tiende a infinito; puede converger si   para algún .
Serie finita
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de   y   se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.
Serie infinita
Primer ejemplo. Para alguna , sea   y . Entonces

por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente, y , se ha demostrado que . Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo .

Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo . Entonces C(x,x)(n) = n + 1 para todo por lo tanto el producto de Cauchy y no es convergente.

4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (criterio de D´Alembert) y PRUEBA DE LA RAÍZ (criterio de Cauchy).

Imaginemos que se va a celebrar una carrera con las siguientes reglas:

1. El primer minuto debe recorrerse 100 metros.

2. El minuto siguiente debe recorrerse la mitad, 50 metros.

3. El minuto siguiente debe recorrerse la mitad del anterior, 25 metros.

4. El minuto siguiente dee recorrerse la mitad del anterior, 12,50 metros.
y as´ı sucesivamente.

Por otra parte, al mismo tiempo empieza otra carrera, con las reglas ligeramente
modificadas:

1. El primer minuto se recorren 100 metros.

2. El minuto siguiente se recorren la mitad de 100 metros, 50 metros.

3. El minuto siguiente se recorren la tercera parte de 100 metros, 33,3
metros.

4. El minuto siguiente se recorren la cuarta parte de 100 metros, 25 metros.
y as´ı sucesivamente.

Dos corredores empiezan a la vez las carreras. Si la meta de la primera se
encuentra situada a 300 metros y la de la segunda a 1000 metros, ¿qui´en
llega primero a la meta y cu´anto tiempo tarda?
Llamamos D = 100 metros la distancia recorrida en el primer minuto. La
primera carrera va recorriendo las distancias:

D +D/2+D/4+D/8+ . . .

La segunda carrera va recorriendo las distancias:

D +D/2+D/3+D/4+ . . .

La pregunta es cu´al de estas sumas alcanza la distancia a la que est´a situada
la meta respectiva. Al acabar este tema deberemos ser capaces de dar una
respuesta razonada1.

Series de Convergencia
Son aplicables en caso de disponer de otra serie $\sum(b_n)$ tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, |z| > 1. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si $0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0$

Si $\sum(b_n)$ converge $\Rightarrow \sum(a_n)$ converge
Si $\sum(a_n)$ diverge $\Rightarrow \sum(b_n)$ diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

$\lim_{k \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{k}}{b_k} \right )=L$

Entonces:

Si $L = 0$ y $\sum(b_k)$ converge $\Rightarrow \sum(a_k)$ converge
Si $L=\infty$ y $\sum(b_k)$ diverge $\Rightarrow \sum(a_k)$ diverge
En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

CONVERGENCIA

Una serie alternada

a n

converge absolutamente si

$\sum_{n=1}^\infty \left| {a_n}\right|$

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.

Criterio de D'Alembert

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que

a k > 0

( serie de términos positivos).

Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L$

con $L \, \in \, [0, +\infty)$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si $L < 1$ , la serie converge.
si $L > 1$ , entonces la serie diverge.
si $L = 1$ , no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe

Criterio de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entonces $\textstyle \sum{a_n}$ converge si y sólo si $\textstyle \int_1^\infty f(x)\,dx$ es finita.